Fonction convexe Fonction qui est telle que $$\forall x,y,\forall t\in[0,1],\quad f(tx+(1-t)y)\leqslant tf(x)+(1-t)f(y)$$

• on dit que la fonction est strictement convexe si l'inégalité est stricte
• on dit que la fonction est concave si l'inégalité est dans l'autre sens
• caractérisation pour les fonctions réelles deux fois dérivables : la dérivée seconde est positive

Questions de cours

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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que dire de la convexité de \(\exp\) sur \({\Bbb R}\) ?
Verso: Elle est convexe.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que dire de la convexité de \(x\mapsto x^n\) sur \({\Bbb R}\) ?
Verso:

• si \(n\) est pair, elle est convexe sur \({\Bbb R}\)
• si \(n\) est impair, elle est concave sur \({\Bbb R}_-\) et convexe sur \({\Bbb R}_+\)

Bonus:
Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que dire de la convexité de la fonction \(\lvert\cdot\rvert\) ?
Verso: Elle est convexe
Bonus:
Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Que dire de la convexité de la fonction \(x\mapsto\sqrt x\) ?
Verso: Elle est concave sur \({\Bbb R}_+\)
Bonus:
Carte inversée ?:
END
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Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Quelles sont les fonctions à la fois convexes et concaves sur \({\Bbb R}\) ?
Verso: Ce sont les fonctions affines.
Bonus:
Carte inversée ?:
END